Makalah Matematika Mengenai Matriks
TUGAS MANDIRI
Aplikasi Integral Dalam Kehidupan
Sehari-hari
Mata Kuliah: Matematika
Nama : Elisabeth Sinaga
NPM : 113310069
Kode
Kelas : 111- MN004-N1
Dosen : Renniwaty Siringoringo, SE,M.Si
STMIK PUTERA BATAM
2012
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat
serta anugrah-Nya sehingga Saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini
dengan baik dan dalam bentuk yang sederhana. Semoga Makalah ini dapat
dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca
mengenai pengetahuan dasar mengenai
integral.
Pada pokok pembahasan, disajikan
materi yang ringkas tentang Integral dan jenis serta metode penyelesaiannya.
Dalam makalah ini saya tidak lupa menyajikan contoh penerapan integral dalam
kehidupan sehari-hari dan dapat anda lihat pada bab pembahasan.
Harapan Saya semoga makalah ini
menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, walaupun Saya akui
masih banyak kekurangan dalam penyajian makalah ini karena ilmu Matematika yang Saya miliki masih sangat kurang.
Akhir kata, Saya sampaikan terima
kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah
ini, dari awal sampai akhir hingga menjadi sebuah makalah. Saya sangat
mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk pembuatan makalah
berikutnya, terimakasih.
Batam, Januari
2012.
Elisabeth Sinaga
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR....………………………………………………………….i
DAFTAR ISI……………………………………………………………………...ii
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin
dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan
teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan
peralatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan
dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian,
dan sosial maupun di bidang teknik.
Kata matematika berasal dari kata “mathema” dalam
bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar.”
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam
perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi.
Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang
matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. Pelajaran
tentang struktur yang sangat umum dimulai dalam bilangan natural dan bilangan
bulat, serta operasi aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam aljabar
dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori
bilangan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri. Dan pengertian dari
perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa dalam
ilmu alam dan kalkulus.
Dalam kehidupan sehari-hari, mungkin kita pernah
mengalami kesulitan dalam beberapa masalah. Seperti beberapa contoh kasus di
bawah ini:
1. Sebuah
kolam renang berbentuk persegi memiliki dasar berbentuk oval, berapakah volume
air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut?
2. Sebuah
tangki berbentuk trapesium diisi penuh dengan air, berapakah total gaya yang
diperlukan untuk memompa seluruh air pada tangki tersebut, di mana ketinggian
tangki tersebut adalah 3 meter?
Berdasarkan beberapa contoh di atas, perhitungan biasa
tidak mungkin bisa menjawab pertanyaan di atas, untuk menjawabnya kita harus
menggunakan salah satu cabang dari kalkulus, yaitu integral. Integral memiliki
peranan yang penting khususnya dalam bidang teknik dan sains.
Berdasarkan uraian di atas, maka karya tulis ini
bertujuan untuk membahas aplikasi integral pada kehidupan sehari-hari serta
perhitungannya.
1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan
karya tulis ini adalah:
1. Bagaimana
integral dapat diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari?
2. Bagaimana
menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang dijumpai sehari-hari dengan
menggunakan integral?
1.3 Tujuan
Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan daripada
karya tulis ini adalah sebagai berikut:
1. Memberitahukan
kepada pembaca aplikasi-aplikasi perhitungan integral dalam kehidupan
sehari-hari
2. Memberitahukan
cara-cara untuk menyelesaikan
permasalahan yang terkait dengan integral
1.4 Batasan
Batasan masalah dalam karya tulis ini adalah aplikasi
integral untuk menghitung usaha dan gaya yang diperlukan untuk memompa air dari
wadah.
1.5 Asumsi
Asumsi dalam perhitungan karya tulis ini adalah
berlaku pada RTP (Room Temperature and Pressure) yaitu 25oC dan 1
atm.
BAB 2
PEMBAHASAN
2.1 Landasan Teori
2.1.1 Integral
Integral Tak Tentu
Integral
memiliki 2 pengertian, yaitu:
1. Anti-turunan
2. Luas yang
dibatasi kurva dengan sumbu X/Y
Notasi utama integral tak tentu adalah
Dengan F(x) adalah integral dari f(x) dan C konstanta.
Teorema Integral tak tentu
1. Jika n
bilangan rasional dan n ≠ 1, maka berlaku
Dengan C adalah konstanta.
2. Jika f
dapat diintegralkan dan k konstanta, maka berlaku
3. Kelinearan
Integral
4. Integral
Trigonometri
Integral Tertentu
Integral tertentu dapat didefinisikan sebagai
Teorema Dasar pada Integral
1. Fungsi f
kontinu pada interval tertutup [a,b] dan x salah satu titik pada [a,b],
berlaku:
2. Jika f
dan g bisa diintegralkan pada [a,b] dan f(x) ≤ g(x) untuk semua x, x titik pada
[a,b], maka:
3. Jika f
bisa diintegralkan pada [a,b] dan m ≤ f(x) ≤ M untuk semua x pada [a,b], maka:
4. Jika f
kontinu pada [a,b] dan F merupakan antiturunan f, maka berlaku:
5. Jika g
dapat diturunkan dan F antiturunan f, maka
Persamaan di atas merupakan salah satu metode
perhitungan integral, yang dikenal dengan metode substitusi.
6. Jika g
kontinu pada [a,b], dan f kontinu pada range g, maka
Metode untuk Menghitung Integral
Metode Substitusi
Ciri-ciri
integral yang dapat dikerjakan dengan cara substitusi:
a.
, dengan m – n = 1
Misal :
b.
dx, f’(x) turunkan pertama f(x) atau kelipatannya
Misal :
c.
ax(cos ax)n dx
Misal :
d.
, maka F = fungsi trigonometri
Misal :
Langkah-langkah untuk mengintegralkan persamaan dengan
metode substitusi adalah sebagai berikut:
1. Tentukan
fungsi u, yaitu persamaan yang lebih kompleks
2. Tentukan
dx dari u’
3. Substitusikan
dx pada persamaan
, sehingga
tersisa
4. Selesaikan persamaan
Metode Parsial
Apabila pengintegralan metode substitusi tidak
berhasil, kita dapat menggunakan metode lain, yaitu metode parsial.
Dua hal yang perlu diperhatikan dalam perhitungan
menggunakan metode parsial ini, yaitu:
1. v harus
dapat diintegralkan
2.
lebih mudah dikerjakan dibandingkan
Cara praktis :
|
|
2.1.2 Usaha
Ketika
kita mendorong sebuah kursi dengan suatu jarak sepanjang garis lurus dengan
gaya konstan, maka kita dapat menentukan usaha yang dilakukan gaya dengan
menggunakan rumus W = F.s. Tetapi sayangnya, tidak semua gaya adalah konstan,
sehingga kita perlu mempertimbangkan variasi gaya pada tiap saat. Untuk
melalukannya, kita perlu mengintegralkan gaya. Berikut adalah rumus untuk
menghitungnya:
Terdapat
3 jenis masalah umum mengenai kerja, yaitu:
1.
Mengangkat beban
2.
Memompa fluida
3.
Menekan atau meregangkan pegas
2.1.3 Gaya dan Tekanan Fluida
Fluida
Yang kita maksud dengan fluida disini adalah suatu
bentuk materi yang mudah mengalir misalnya zat cair dan gas. Sifat kemudahan
mengalir dan kemampuan untuk menyesuaikan dengan tempatnya berada merupakan
aspek yang membedakan fluida dengan zat benda tegar. Meskipun demikian
hukum-hukum yang berlaku pada dua sistem ini tidak berbeda. Pada bagian ini
kita akan meninjau fluida dalam keadaan tidak mengalir, contohnya air di dalam
suatu wadah atau air di danau/waduk.
Gaya
Definisi gaya sendiri adalah tarikan atau dorongan yang memiliki arah. Gaya
terdiri dari gaya sentuh(akibat sentuhan langsung) dan gaya tak sentuh. Gaya dapat menyebabkan perubahan
posisi, kecepatan, bentuk, panjang, volume, dan arah. Gaya merupakan besaran
vektor, sehingga memiliki besar dan arah. Alat yang digunakan untuk mengukur gaya secara
langsung adalah neraca pegas atau dinamometer.
Tekanan
Pengertian tekanan akan mudah kita pahami setelah kita
menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Mengapa pisau yang tajam lebih mudah
memotong dari pada pisau yang tumpul? Mengapa paku yang runcing lebih mudah
menancap ke dalam benda
dibandingkan paku yang kurang runcing? Pertanyaan diatas sangat berhubungan
dengan konsep tekanan.
Konsep tekanan identik dengan gaya, gaya selalu menyertai
pengertian tekanan. Tekanan yang besar dihasilkan dari gaya yang besar pula,
sebaliknya tekanan yang kecil dihasilkan dari gaya yang kecil. Dari pernyataan
di atas dapat dikatakan bahwa tekanan sebanding dengan gaya. Mari kita lihat
orang memukul paku sebagai contoh. Orang menancapkan paku dengan gaya yang
besar menghasilkan paku yang menancap lebih dalam dibandingkan dengan gaya yang
kecil.
Pengertian tekanan tidak cukup sampai disini. Terdapat
perbedaan hasil tancapan paku bila paku runcing dan paku tumpul. Paku runcing
menancap lebih dalam dari pada paku yang tumpul walaupun dipukul dengan gaya
yang sama besar. Dari sini terlihat bahwa luas permukaan yang terkena gaya
berpengaruh terhadap tekanan. Luas permukaan yang sempit/kecil menghasilkan tekanan
yang lebih besar daripada luas permukaan yang lebar. Artinya tekanan berbanding
terbalik dengan luas permukaan.
Penjelasan di atas memberikan bukti yang sangat nyata
pada pengertian tekanan. Jadi, tekanan dinyatakan sebagai gaya per satuan luas.
Pengertian tekanan ini digunakan secara luas dan lebih
khusus lagi untuk Fluida. Satuan untuk tekanan dapat diperoleh dari rumus di
atas yaitu 1 Newton/m2 atau disebut dengan pascal. Jadi 1 N/m2=1
Pa (pascal).
Bila suatu cairan diberi tekanan dari luar, tekanan ini
akan menekan ke seluruh bagian cairan dengan sama prinsip ini dikenal sebagai
hukum Pascal.
Massa Jenis
Fluida memiliki bentuk dan ukuran yang berubah-ubah
tergantung dengan wadah tempat fluida berada. Namun ada satu besaran dari
fluida yang dapat mencirikan suatu jenis fluida dan membedakannya dengan fluida
yang lain. Misalnya apa perbedaan cairan air dan cairan minyak tanah selain
dari baunya. Sifat yang membedakan fluida satu dengan yang lainnya dinamakan
dengan massa jenis. Massa jenis tidak hanya berlaku pada fluida saja, tapi
berlaku juga pada semua benda tak terkecuali benda tegar. Namun, pengertian
massa jenis akan sangat berguna untuk membedakan fluida satu dengan yang
lainnya karena bentuk fluida yang tidak tentu.
Massa jenis berhubungan dengan kerapatan benda
tersebut. Kita ambil contoh; suatu ruangan yang diisi oleh orang. Sepuluh orang
menempati ruang kecil dikatakan lebih rapat dibandingkan dengan sepuluh orang
yang menempati ruangan yang besar. Contoh ini membuktikan bahwa kerapatan berbanding
terbalik dengan volume (isi) ruang. Kerapatan yang besar dihasilkan dari ruang
yang kecil (sempit) dan kerapatan kecil didapat dari ruang yang besar. Kemudian
kerapatan juga sebanding dengan jumlah materi yang ada di dalam ruang atau
massa benda.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa
kerapatan sebanding dengan massa dan
berbanding terbalik dengan volume. Massa jenis
dilambangkan dengan r (dibaca “rho”) dan
memiliki satuan kg/m3 atau gr/cm3 dimana 1gr/cm3=1.000kg/m3
Tekanan dalam Fluida
Misalkan
kita sedang berendam di dalam air, apa yang kita rasakan? Seolah-olah air
menekan seluruh tubuh kita yang bersentuhan dengan air. Tekanan ini semakin
besar apabila kita masuk lebih dalam ke dalam air. Fenomena apa yang ada
dibalik peristiwa ini?
Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa fluida
memberikan tekanan terhadap benda yang berada di dalamnya. Pengertian ini
diperluas menjadi tekanan pada fluida tergantung pada ketebalannya atau lebih
tepatnya kedalamannya.
Udara/atmosfer terdiri dari gas-gas yang juga
merupakan bentuk dari fluida. Maka udara juga akan memiliki tekanan seperti
definisi di atas. Tekanan udara kita anggap sama untuk ketinggian tertentu di
atas bumi namun untuk ketinggian yang sangat tinggi di atas permukaan bumi
besarnya menjadi berbeda. Hal ini dapat dilakukan karena udara kita anggap
kerapatannya kecil sehingga untuk titik-titik yang tidak terlalu jauh perbedaan
ketinggiannya bisa dianggap sama.
Persamaan Tekanan-Kedalaman
Fluida yang tidak bergerak(statis), memiliki tekanan P
pada kedalaman h yang besarnya sama dengan berat fluida dikali kedalaman h.
Sehingga
Jika dasar wadah penampung fluida adalah datar, maka gaya
yang diberikan ke dasarnya adalah sama dengan
Tetapi apabila dasar wadah penampungnya tidak
datar(berbentuk oval atau lainnya), kita harus menggunakan rumus perubahan
kedalaman, yaitu integral.
dengan L(y) adalah persamaan
panjang garis horizontal wadah, dan w adalah berat fluida.
2.2 Analisis Data
Apabila
sebuah truk mengangkut susu dengan massa jenis 1.033 kg/m3 yang
tersimpan dalam sebuah tangki berbentuk silinder melingkar dengan diameter 6 m.
Susu hanya memenuhi setengah dari tangki tersebut. Maka langkah pertama yang
dilakukan untuk menghitung gaya yang ditimbul susu pada dasar tangki adalah
menggambar sketsanya:
|
3 m
|
|
Permukaan susu
|
|
x = (9 – y2)1/2
|
|
x = -(9 – y2)1/2
|
Kita akan menentukan L(y) dari persamaan x di atas.
Karena simetri, maka:
Dan kedalaman dari L(y) adalah sumbu Y–(y negatif),
karena diasumsikan permukaan susu berada pada sumbu X sehingga L(y) berada pada
Y–.
Massa jenis susu adalah 1.033 kg/m3,
sehingga gaya yang diberikan pada dasar tangki adalah sebagai berikut
Untuk menyelesaikan integral tersebut, kita akan
menggunakan metode substitusi, yaitu
Substitusikan dy ke persamaan F, dan didapatkan:
Sehingga didapatkan 18.594 N.
2.3 Analisis Hasil
Dari hasil diatas, maka dapat kita simpulkan, bahwa:
Gaya yang diterima tangki berbentuk silinder melingkar
yang terisi setengah penuh oleh susu bermassa jenis 1.033 kg/m3
adalah sebesar 18.594 N.
BAB 3
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Perkembangan
matematika, khususnya integral memberikan kontribusi yang besar kepada bidang
ilmu teknik dan sains, salah satu dari kontribusi integral adalah menghitung
gaya dan usaha yang dilakukan oleh fluida pada sisi-sisi wadah, apabila bentuk
wadah tidak datar maupun wadah yang asimetris atau tidak teratur.
Daftar Pustaka
Varberg,
Dale, dkk. 2006. Calculus 9th
Edition. Amerika Serikat : Prentice Hall
Sumber website:
http://aktifisika.wordpress.com/2008/11/14/tekanan-dan-fluida/
http://faculty.eicc.edu/bwood/math150supnotes/supplemental31.html
diposting oleh Unknown @ 08.21
0 Komentar
0 Komentar:
Posting Komentar
Berlangganan Posting Komentar [Atom]
<< Beranda